Evoluția numerelor: note de lectură la o carte de Paolo Zellini

Lucrarea “Matematica zeilor și algoritmii oamenilor” de Paolo Zellini [1] permite mai multe niveluri de lectură: istorică, de interpretare culturală și filosofică a matematicii, precum și unul prin reconstrucția unei posibile teorii implicite cu privire la evoluția numerelor. În acest text schițez o teorie a evoluției numerelor prin procese de selecție. O astfel de interpretare este o variantă a abordării constructiviste în matematică, prin care se atribuie „preeminență tocmai procesului [de calcul] care părea exterior vocației abstracte a matematicii” (p9).

Schița reconstrucției unei teorii a evoluției numerelor

Unitatea selecției în acest procese de evoluție este proiectul de calcul, iar numărul îl putem defini ca fiind o variabilă de producție într-un proiect de calcul. Statutul ontologic al numerelor este același indiferent de tipul de numere (iraționale, naturale, etc), toate fiind construite. Numărul este o variabilă de producție într-un proiect de construire a lui prin calcul. Construirea face apel atât la regiunea mentală, cât și la cea externă prin algoritmii de calcul și calculul efectiv: “un număr există numai dacă este construit” (p9), “logica nu e suficientă pentru a fundamenta o ontologie a obiectelor abstracte” (p13), “Numerele care există, dar care nu pot fi calculate nu au aceeași realitate ca numele calculate de mașină.“ (p150). “Eficiența [calculului] ar trebui să intre între presupozițiile necesare pentru a fundamenta o ontologie a numerelor.” (p161).

Numerele sunt în mod derivat și obiecte reale rezultate prin reificarea variabilelor de producție din proiecte de calcul, iar conceptele de număr evoluează pentru a da seamă de această realitate. “În general, matematica nu se ocupă cu calcularea numerelor – nici mari, nici mici” (p137), ea se ocupă însă cu numerele ca obiecte, cu rezultatul reificării variabilelor de producție din proiectele de calcul, iar din punct de vedere al fundamentelor și cu conceptele de număr.

Calculul urmărește găsirea raportului între variabile observabile la diferite scări. Putem în mod rezonabil presupune că proiectele de calcul care folosesc limbaj matematic evoluează din unele exprimabile în limbajul comun (cu termeni de tipul parte și întreg, mare și mic, scurt și lung, etc), sau, în termenii programului evoluției, dintr-un ancestor cultural comun al mai multor tipuri de discursuri specializate [2].  Proiectul de calcul este asociat evolutiv cu „o știință a rapoartelor ca fundament al unui cosmos inteligibil” (p22). Numerele sunt obiective ontic (în sensul verificabilității inter-subiective) atunci când rapoartele între variabile observabile la diferite scări sunt obiective. Numărul se poate referi și la rapoarte observabile intern în procese psihologice. Astfel de rapoarte observabile între variabile psihologice interne nu sunt obiective.

Numărul nu este un concept psihologic, ci un concept al rațiunii, formal, dincolo de distincția dintre obiectivitate ontică (bazată pe verificabilitate inter-subiectivă) și subiectivitate. Numărul are obiectivitate în sens structural: există în mod obiectiv rapoarte între variabile observabile la diferite scări, indiferent dacă aceste variabile sunt în regiunea externă (naturală, culturală, ontic obiectivă) sau în cea internă (mentală, ontic subiectivă) a lumii.

Nu poate exista o definiție internă matematicii general acceptabilă pentru toate tipurile de numere ca obiecte (adică un concept general de număr) deoarece proiectele matematice sunt diverse: „teoriile matematice și-au schimbat adesea înfățișarea, au fost gândite și formulate în multe feluri și cu varii scopuri, ramificându-se în alte teorii.” (p19-20). Situația este similară imposibilității producerii unui concept general de specie în biologie. Abordarea nominalistă și cea realistă (platonică) a numerelor este posibilă numai după separarea numerelor de relațiile cu alte variabile care intră în proiectele de calcul efectiv din care își au originea evolutivă. Nici nominalismul, nici realismul nu poate da seamă de raționalitatea numerelor (prima o slănește foarte mult, a doua îi pierde caracterul evolutiv rezultat din adaptarea proiectelor de calcul la problemele care trebuie rezolvate efectiv).

Proiectele de calcul sunt subproiecte în proiecte de măsurare. Scopurile (variabilele de producție ale) proiectelor de măsurare diferă în funcție de regiunea ontică în care se desfășoară (naturală, culturală, mentală). Proiectele de măsurare în regiuni diferite au evoluat către discipline științifice focalizate către anumite regiuni și sub-regiuni ontice. Matematica este un domeniu de cunoaștere transversal (cross-cutting) în raport cu disciplinele științifice specializate în cunoaștere despre regiuni și sub-regiuni ontice.

Teologia academică, ontologia, logica, au un caracter cross-cutting transversal de aceeași natură cu al matematicii și joacă pe lângă roluri practice și unul de coerentizarea a cunoașterii (prin proiecte de unificare). Există operații de sinteză universale ale gândirii care fac în mod necesar legătura între regiunea externă a lumii și cea mentală (cross-cutting între regiuni ontice). Aceste operații au fost exprimate de o manieră neriguroasă încă de la începuturile evoluției culturale: “sinteza interiorității și a exteriorității, a minții și a naturii” (p 30). Existența acestor operații ale rațiunii este valorificată în mod diferit în domeniile de cunoaștere transversale și permite trecerea gândirii de la o strategie de coerentizare transversală a cunoașterii la alta.

Nu este necesară o reducere a numerelor (reificate ca obiecte matematice) la variabile fizice în urma operațiilor de sinteză inter-regională, e suficientă observarea necesității sintezei între variabile din regiunea externă a lumii și variabile din lumea internă: “Într-o idee extinsă de realitate, structura cea mai abstractă contează exact ca și lista de cifre, ininteligibilă în sine, pe care un calculator o printează cât se poate de material la sfârșitul unui proces de calcul: una e oglinda celeilalte, una va fi decriptată folosind-o pe cealaltă.” (p153). Conceptele matematice funcționează ca variabile de legătură între minte și regiunea externă a lumii, cu rol de resurse în proiecte de acțiune și procesele asociate lor: “conceptele matematice, creații ale minții noastre, care ne stimulează comportamentul într-un mod mai mult sau mai puțin eficient” (p5).

Proiectele de măsurare din diferite domenii se află în interacțiune și constituie mediul obiectiv de cuplare a unităților potențiale de selecție reprezentate de proiectele de calcul, mediul în care are loc selecția proiectelor în caz de penurie a resurselor. Proiectele de calcul și numerele asociate lor ca variabile de producție pot fi eliminate prin competiție specifică matematicii în condițiile unei penurii de resurse externe disponibile în mediul obiectiv constituit de proiectele de măsurare. Numerele caracteristice unor proiecte de calcul de tip diferit pot fi stabilizate evolutiv și în condiții dezavantajoase selectiv prin preluarea lor ca resurse conceptuale în alte domenii științifice și în limbajul comun. Numărul preluat ca resursă devină o trăsătură (eng. trait) a proiectelor de rezolvare a unor probleme nematematice și influențează succesul acestor proiecte în competiția cu alte proiecte prin transfer de autoritate.

Există o relație de feed-back între proiectele matematice relativ autonome (care fac apel numai la raționamente) și procesele de calcul al numerelor, în particular cele folosind computere. Însuși calculul efectiv al numerelor depinde de obiecte matematice abstracte care au fost dezvoltate folosind numere într-o etapă mai veche a evoluției matematicii: “Calculul însuși devine, în ultimă instanță, un proces fizic, dar e dificil să-l separăm de premisele teoretice, pur matematice, care-l fac posibil.” (p164), raționamentul și algoritmul susținut de un proces fizic au devenit inseparabile. Există un calcul automat “care se desfășoară în spațiul și timpul fizice ale unei mașini”, iar “entitățile matematice sunt ca niște organsime vii, în măsură să dicteze condițiile concrete care ne permit să le studiem și să le înțelegem” (p 14). La rândul lui numărul nu a fost o invenție a matematicii, ci în forma sa cea mai simplă, naturală, a fost preluat ca o resursă inițială pentru proiectele matematice din proiecte de calcul elementar derulate cu succes practic și care nu aveau nevoie de vreo fundamentare cu ajutorul unor obiecte matematice. Caracterizarea evoluției detaliate a acestor procese de dezvoltare a cunoașterii ține de istoria matematicii (de ex. câteva referiri sistematizate sunt la p130, dar întreaga lucrare poate fi citită și ca o scurtă istorie comentată și interpretată a matematicii).

Nu există diferență de natură între matematică, filosofie teoretică (ambele transversale) şi ştiințele empirice (specializate pe regiuni și sub-regiuni ontice): toate sunt formate din proiecte  adaptate la rezolvarea unor probleme diferite și au la o anumită scară o ancorare empirică externă sau internă [3], toate au evoluat în timp de la niveluri de complexitate mai mică la niveluri de complexitate mai mare a proiectelor și proceselor de producție de cunoaștere. Conținutul primelor depinde ontologic de o analiză structurală a conținutului ultimelor pentru a detecta invarianțele (o ridicare la scară, up-scaling, din punctul de vedere al generalității cunoașterii) urmată de procesări locale în disciplina transversală (de ex. în proiecte de producție matematică), iar cele din urmă pot fi reconstruite prin specificări ale unor structuri cu diferite grade de generalitate construite în diferite strategii, printr-o coborâre la scară, downscaling, din primele, folosind modele intermediare şi îmbogățiri locale.

Proiectele de cunoaştere relativ autonome din fiecare domeniu sunt limitate cognitiv în absența unui cuplaj interdisciplinar la scara de timp a deceniilor. “Matematica nu se naște ca abstracțiune pură, ca model abstract al realității fizice”, obiectele matematice „par să răspundă tocmai scopului de a fonda un univers de entități existente în act și efective” (p82). Cauza aplicabilității matematicii la științele moderne este coevoluția  domeniilor de cunoaștere după separarea lor relativă din trunchiul cunoașterii comune antice. Numerele și alte obiecte matematice coevoluează cu reprezentările despre spațiu și timp din diferite discipline prin transferul rezultatelor proiectelor relativ autonome matematice de calcul către proiecte de măsurare efectivă și/sau de construcție a unor artefacte [4] în care sunt folosite reprezentări despre spațiu și timp. “Ceea ce s-a numit “iraționala eficacitate a matematicii în științele naturale” apare a fi consecința unei complexe și bine articulate combinații de proprietăți și circumstanțe care atenuează sensibil impresia de inițială de accidental a posibilelor legături dintre conceptele abstracte ale matematicii și lumea fizică” (p 165).

Regularitățile (“legile”) structurale din abordările transverale, în particular din matematică, au o scară de timp a validității lor “universale”, îndeplinind rolul unor condiții de graniță (boundary conditions) pentru reprezentările cu grad înalt de specificare din științele empirice, care au un timp de viață mult mai scurt [5]. Generalitatea reprezentărilor asupra “naturii” unor entități și procese exprimată matematic în urma extragerii unor invarianțe are valabilitate limitată în timp. Procesele de schimbare a legilor structurale din abordările transversale pot fi exprimate în mod complementar în limbaj filosofic teoretic și teologic academic, fără ca vreo strategie să poată epuiza toate aspectele relevante datorită limitelor resurselor interne (mentale) și externe ale proiectelor explicative. Penuria de resurse duce la specializări ale strategiilor prin diferențierea nișelor / rolurilor existențiale și la evoluția prin competiție în interiorul nișelor și între strategii la scara socială la care nu mai pot fi diferențiate nișe datorită granițelor obiective ale sistemului.

Ceea ce se dorește a fi invariant în mod absolut nu poate fi bazat pe legi structurale reprezentabile de către om. Nici matematica, nici logica, teologia academică sau filosofia nu pot furniza astfel de legi, în pofida existenței unei tradiții de ancorare a realității numerelor în Sfânta Scriptură (p114, paragraful 2). Ordinea (structurată de regularități) și haosul (fără regularități) inteligibile de către om au în mod obiectiv un timp finit de viață [6]. Limbajul adecvat este în acest caz mai degrabă cel analogic, nu cel descriptiv cu exigențe de obiectivitate ontică, dar această opțiune nu intră în zona de interres a lui Paolo Zellini.

Încheiere

Aducerea acestei lucrări în atenția publicului românesc de către domnul Liviu Ornea și editura Humanitas este foarte oportună, întrucât permite depășirea percepției tradiționale despre separarea domeniilor de cunoaștere într-un mod nerelativist. Cititorul își poate forma o imagine cu privire la structurile de profunzime ale cunoașterii, fie ele și cu un timp de viață finit. Cititorul va înțelege modul cum  pare a fi organizată și cum evoluează cunoașterea, toate acestea având rol neîndoielnic în scăderea vulnerabilității la cele două extreme provincialiste cărora le putem cădea victime: relativismul și fundamentalismul. Dincolo de acestea, și poate în primul rând, lectura oferă satisfacția intrinsecă a asistării, și pe măsura puterilor a participării, la un regal al gândirii, la un act de cunoaștere viu. Mulțumim.

Note

[1] Zellini P., 2018, Matematica zeilor și algoritmii oamenilor, traducere de Liviu Ornea, Humanitas, București

[2] Zellini spune că „suntem îndreptățiți să credem că matematica și filosofia, geometria și religia, calculul și metafizica descind dintr-o unică, măreață combinație reciprocă originară” (p22). Din perspectivă evolutivă un ancestor comun nu e mai măreț ca în entitățile care au evolat din acesta, toate au același statut ontologic și nu există un progres de la inferior la superior.

[3] Un exemplu de problemă simplă: “cum trebuie gândit numărul în așa fel încât să-și îndeplinească sarcina de a pune în legătură percepțiile sufletului ?” (p48)

[4] Cu sau fără aservire „scopurilor operativității tehnologice” (p56). Se poate observa o privilegiere a fizicii în perspectiva autorului asupra aplicării matematicii în științele moderne: „chiar dacă au orientări științifice diferite, fizica și matematica țintesc totuși amândouă către fundamentarea realității lumii” (p 101). Pe de altă parte, discuția despre relația dintre timpul fizicii și timpul trăit nu este prea profundă, fiind neinformată de filosofia fizicii (p 104-106). Există și referiri indirecte la folosirea matematicii în științe sociale (de ex. la p143 în paragraful 2).

[5] Fără ca asta să însemne că în lumea locală a limbajului matematic, decuplată de proiectele de calcul efectiv, a raționamentului mintal, nu este sesizată obiectivitatea regularităților matematice: “Noi nu decidem nimic, numerele sunt cele care se dispun conform unor legi proprii, independente de voința noastră” (p 93), “evidența acelor fenomene inalterabile și nemodificabile, consubstanțiale numerelor și forumulelor matematice, care impun opțiunile teoretice cele mai fundamentale și semnificative” (p117). Numai că această obiectivitate locală este ontologic dependentă de statutul întregilor proiecte de calcul aflate în mediul dat de proiecte de măsurare.

[6] „numărului îi revenea funcția de racord între uman și divin” (p59), însă acest racord nu este imuabil (numai rolul lui de racordare). „Numărul a fost întotdeauna cel care a permis această operație [unică a spiritului] în varii moduri posibile, indiferent de cum a fost el considerat în diverse contexte de-a lungul secolelor” (p59). Din perspectiva autorului spiritualitatea însă e o chestiune ce ține de subiectivitate (atman, de ex., e “subiectul atoate înțelegător”, p97) nu una care e dincolo de opoziția obiectiv – subiectiv întemeindu-le și structurându-le pe amândouă.