Contracţia relativistă a lungimilor

Una din provocările teoriei relativităţii este prezicerea contracţiei lungimilor obiectelor fizice. Este această contracţie reală, sau nu? Bell a propus o dovadă a existenţei contracţiei lungimilor cu ajutorul unui experiment mental. Două rachete sunt legate printr-un fir rigid întins la maximum. În momentul în care are loc o contracţie a firului aşa cum este observată din cea de-a treia rachetă, firul se rupe, deoarece era întins la maximum. Toţi fizicienii consultaţi de Bell au căzut de acord că aşa se va întâmpla, deci pe bază de autoritate externă putem conchide şi noi că este vorba de o contracţie reală.

Problema căreia i se adresează acest eseu este cum interpretăm consecinţele acceptării demonstraţiei lui Bell a faptului că există o contracţie reală a lungimilor.

În primul rând, să vedem care sunt consecinţele. Dacă am acceptat faptul descris de Bell, atunci înseamnă că ar avea loc ruperea oricărui obiect rigid care leagă două alte obiecte rigide. Să luăm în considerare una dintre cele două rachete legate de firul rigid, să zicem cea din faţă, şi să observăm că ea poate fi caracterizată ca având trei părţi: partea din faţă, partea din mijloc şi partea din spate (cea legată la firul rigid). Toate părţile rachetei trebuie să fie rigide, altminteri firul nu s-ar fi rupt. Deci şi partea din mijloc este rigidă. Aplicând dovada lui Bell la sistemul format din cele trei părţi ale rachetei, rezultă că partea din mijloc a rachetei se va rupe. Generalizând, rezultă că orice parte a sistemului format din cele două rachete şi firul rigid se va rupe, cel puţin în momentul în care forţa datorată contracţiei va depăşi forţa care uneşte părţile respective. Este probabil că firul se va rupe primul, dar este sigur că la un moment dat întregul sistem va fi pulverizat. Pentru a simplifica discuţia şi a nu avea ruperi succesive, să considerăm, în loc de două rachete şi un fir, un corp absolut omogen, să zicem o bară din carbură de wolfram (1). În conformitate cu dovada lui Bell, această bară va fi pulverizată în momentul când va depăşi o anumită viteză în raport cu sistemul din care se efectuează măsurătoarea (2). Generalizând (în baza elementelor din nota 2), obţinem că orice corp este pulverizat în orice moment în raport cu un anumit sistem de referinţă. Problema căreia i se adresează eseul devine, aşadar, cum interpretăm această pulverizare ca reală.

Pentru a putea accepta că autorul acestui eseu în timp ce scrie şi cititorul lui în timp ce îl citeşte sunt pulverizaţi (şi că lungimea noastră pe orice dimensiune tinde către un punct, deci că întregul nostru corp pulverizat se contractă către un punct, faţă de anumite sisteme de referinţă) trebuie să putem gândi că funcţionalitatea corpului nostru nu este dependentă de distanţa dintre punctele materiale care ne constituie corpul, atâta vreme cel puţin cât are loc o contracţie. Altfel spus, oricare ar fi distanţa dintre punctele materiale care ne constituie corpul, noi trebuie să putem scrie la eseu şi, respectiv, citi în continuare.

Pentru a putea face inteligibilă această stare de lucruri, am să fac apel la tipologia spaţiilor oferită de Sklar (3). El ia în discuţie posibilitatea de a concepe spaţii matematice fără metrică (4). În astfel de spaţii distanţele nu sunt definite. Un astfel de spaţiu este un set de puncte. Dacă am renunţat la structura metrică, dar păstrăm structura afină a spaţiului, atunci putem răspunde la întrebarea „care este cea mai scurtă curbă între două puncte“, chiar dacă nu mai putem răspunde la întrebarea „care este distanţa dintre cele două puncte“. Avem atunci de-a face cu un spaţiu afin (5). Dacă renunţăm şi la structura afină, obţinem un „differentiable manifold” (DM, varietate diferenţiabilă), în care încă mai putem stabili coordonate ale punctelor, funcţii şi derivate ale funcţiilor. Studiul DM ignoră distanţele şi paralelismul. Dacă renunţăm şi la posibilitatea de a putea stabili coordonate ale punctelor, obţinem spaţiul ca un simplu set de puncte.

Să ne întoarcem acum la problema noastră şi să vedem ce fel de spaţiu matematic ne-ar conveni mai bine pentru punctele materiale ale corpului nostru pulverizat. Trebuie să fie un spaţiu în care distanţele nu au importanţă, dar în acelaşi timp un spaţiu în care relaţiile funcţionale dintre punctele corpului să se păstreze cumva. Cel mai convenabil pare a fi un spaţiu de tip DM. Să acceptăm, aşadar, că spaţiul în care se află punctele materiale ale corpurilor noastre este un spaţiu de tip DM.

Acum se ridică o altă problemă. DM este un spaţiu fără distanţe, dar noi am ajuns la acceptarea lui ca reală pornind de la contracţia reală a lungimilor, care presupune acceptarea noţiunii de distanţă. Acceptând DM pentru punctele materiale, am pierdut structura metrică – adică tocmai cea de care e nevoie ca să evaluăm lungimea corpurilor.

O soluţie la această problemă ar fi să considerăm că structura metrică a spaţiului punctelor materiale este un artefact uman. De obicei se consideră că doar coordonatizarea este un artefact uman (6). Se pare însă că dacă acceptăm o contracţie reală a lungimilor, atunci trebuie să acceptăm că metrica este un artefact. Aici ne lovim de două probleme. Dacă metrica este un artefact, atunci, în primul rând, cum mai conceptualizăm viteza şi acceleraţia corpurilor, iar, în al doilea rând, cum mai este contracţia lungimilor reală?

Să luăm în discuţie prima problemă. Forţa o conceptualizăm prin prisma efectelor asupra mişcării corpurilor. Iar viteza nu este decât o modalitate de a caracteriza mişcarea corpurilor. Aşadar, noţiunea mai primitivă este cea de mişcare a corpurilor. Cum putem conceptualiza mişcarea corpurilor astfel încât să nu avem nevoie de o metrică? Pentru ca un corp să se mişte, el are nevoie de o traiectorie. Chiar dacă nu aş putea măsura caracteristicile absolute ale traiectoriei, neavând o metrică, ea trebuie să existe. Dar noţiunea de traiectorie este caracteristică şi DM, pentru că în DM pot construi funcţii. Corpurile nu au însă orice traiectorii, ci doar anumite traiectorii. Trebuie să avem, aşadar, o diferenţiere obiectivă între traiectorii, internă DM. Aşa stând lucrurile, pare avantajos să acceptăm mai degrabă un spaţiu afin în loc de un DM. Să considerăm, aşadar, că punctele materiale aparţin unui spaţiu afin. În acesta există o diferenţiere relativă între traiectorii, şi se poate stabili care este cea mai scurtă traiectorie între două puncte. Şi să acceptăm că a spune că asupra unui corp acţionează forţe nu este decât un mod indirect de a spune că un corp urmează traiectoria cea mai scurtă dintre două puncte în spaţiul afin (7).

Rezum: mai întâi am discutat despre corpurile noastre, al celui care scrie eseul şi al cititorului, şi pentru ele am acceptat DM; iar apoi am vorbit de mişcarea unui corp în spaţiul extern şi am văzut că trebuie să considerăm un spaţiu extern afin ca să înţelegem mişcarea. Pentru eleganţă (8), să acceptăm că atât spaţiul extern cât şi cel al punctelor materiale ale corpului sunt afine (structurând, aşadar, puţin mai bine şi corpurile noastre).

Până acum am discutat în cadrul primei probleme chestiunea forţei. Să abordăm acum chestiunea vitezei. Cel mai simplu ar fi să o expediem ca fiind un artefact. Dar nu ne putem permite aceasta din cauza principiului al doilea al lui Einstein. Mai mult, contracţia reală a lungimilor care ne-a împins în această aventură geometrică are loc datorită vitezei corpurilor. Cum putem conceptualiza viteza în absenţa unei metrici şi cum putem explica faptul că există o viteză maximă posibilă? Pentru aceasta am să propun un mod de interpretare a materiei şi spaţiului care ar putea să pară speculativ. Totuşi, mi se pare că el are şi o consecinţă empiric verificabilă, după cum se va vedea, deci s-ar putea să nu încalce principiul lui Mach (9).

Modul de interpretare propus este susţinut de următoarele elemente:

Hiperspaţiul

Spaţiul în sens comun şi materia în sens comun sunt specii ale aceluiaşi gen, şi anume ale spaţiu-timpului (HS, sau hiperspaţiul, pentru a nu-l confunda cu spaţiul în sens obişnuit). Hiperspaţiul este un spaţiu afin. La momentul Big Bang-ului (10) – BB (momentul 0) –, toate punctele hiperspaţiului, spaţiale sau materiale în sens comun, au aceleaşi coordonate (0, 0, 0, 0). Toate punctele spaţiale sau materiale în sens comun preexistă BB. Setul de curbe care diverg din (0, 0, 0, 0) acoperă întregul set de puncte spaţiale sau materiale în sens comun. A nu se confunda această noţiune de hiperspaţiu cu cea a spaţiului lui Minkowsky, care include doar spaţiu-timpul în sens clasic, nu şi punctele materiale.

Materia

Orice punct al hiperspaţiului este un punct material într-un sens nou. Punctele materiale în sens comun şi punctele spaţiale în sens comun diferă în ce priveşte densitatea şi forma materiei în sens nou. Materia în sens nou include, aşadar, spaţiul în sens comun ca o specie a sa. Materia este hiperspaţiul.

Obiectul fizic

Hiperspaţiul şi subseturi ale lui sunt obiecte fizice. O linie în HS reprezintă istoria unui punct. Limita unui obiect fizic este dată de caracteristicile regionale ale structurii afine a hiperspaţiului. Proprietăţile materiale ale obiectelor sunt rezultatul distribuţiei geometrice a materiei. Vidul este un tip de obiect fizic. Materia asociată punctelor vidului este în cea mai mică cantitate în comparaţie cu cea asociată altor puncte materiale.

Mişcarea

Un punct material este în mişcare atunci când se intersectează succesiv cu alte puncte materiale. Mişcarea punctelor materiale este inclusă în structura afină a hiperspaţiului, este, aşadar, o trăsătură intrinsecă a HS (11), şi în acest sens este absolută. În momentul intersectării a două puncte materiale, coordonatele punctelor care se intersectează sunt identice în hiperspaţiu (similar situaţiei Big Bang-ului, dar cu un număr mai redus de puncte).

Mişcarea punctelor materiale în sens obişnuit prin spaţiu în sens obişnuit înseamnă intersectarea punctelor materiale în sens obişnuit cu punctele materiale care au cea mai mică cantitate de materie (punctele vidului). La deplasarea unui corp prin spaţiu nu există un vânt spaţial, deoarece spaţiul nu este dat la o parte la înaintare ca un fluid (12), ci are loc o trecere literalmente prin el. Setul de puncte cu care are loc intersectarea în timpul mişcării este acelaşi, independent de observator. Dar forma setului de puncte este o caracteristică a traiectoriei, care nu este invariantă datorită absenţei unei metrici a hiperspaţiului. Obiectul material va atinge un anumit punct al setului de puncte spaţiale în acelaşi moment t faţă de BB, indiferent de forma traiectoriei, evaluată dintr-un anumit sistem de referinţă.

Dimensiunea obiectelor fizice

Conceptul absolut de dimensiune a obiectelor nu are sens, deoarece am acceptat un hiperspaţiu afin. În ce priveşte conceptul comun de dimensiune a obiectelor, acesta este derivat din cel de mişcare şi presupune un spaţiu încorporant (eng. „embedding space”) ipotetic, proiectat local asupra obiectului măsurat.

Măsurarea dimensiunilor în sens comun poate avea loc prin trei metode, care presupun toate mişcare:

a) de aproape, prin mişcarea unui obiect etalon pe obiectul măsurat sau prin mişcarea unui obiect de măsurat în raport cu un etalon (13)

b) de la distanţă, folosind tipuri de unde care se propagă prin intermediul unor obiecte fizice diferite de vid (sonore, de ex.)

c) de la distanţă, folosind unde care se propagă prin vid (electromagnetice)

Viteza

Este un concept care se referă la numărul de puncte spaţiale cu care se intersectează un punct material în timp. Faptul că în punctele spaţiale este prezentă materie duce la existenţa unei viteze maxime de mişcare a obiectelor materiale prin spaţiu. Principiul al doilea al lui Einstein surprinde această constrângere. Această viteză maximă în raport cu punctele spaţiale este constantă. Aceasta este o constrângere suplimentară asupra structurii hiperspaţiului afin ca rezultat al faptului că punctele sale au proprietăţi materiale.

Viteza maximă măsurată însă în raport cu dimensiunea obiectelor fizice ar trebui să crească odată cu expansiunea universului, deoarece densitatea punctelor spaţiale este mai mare la un moment de timp mai apropiat de BB. În măsura în care această variaţie de viteză maximă poate fi verificată empiric, ea constituie o predicţie a modelului propus în acest eseu. Nu ştiu în ce măsură se poate testa ipoteza că viteza luminii în vid a crescut de la BB până în prezent.

Cu aceste elemente am încercat să schiţăm un răspuns la chestiunea vitezei, ridicată mai sus. Să mai punctăm, în completarea discuţiei referitoare la forţe, că prin prisma termenilor introduşi aici forţele sunt concepte prin care surprindem geometria hiperspaţiului, în particular mişcarea.

Acum ne putem îndrepta către cea de-a doua problemă, şi anume „cum mai este contracţia lungimilor reală”? Pentru aceasta trebuie să revenim la chestiunea dimensiunii obiectelor fizice şi a modalităţii de măsurare a acesteia. Pentru a obţine aceeaşi valoare la măsurare indiferent de sistemul de referinţă din care se face ar trebui să fie îndeplinite două condiţii:

1. geometria „embedding space” artefactual utilizat pentru măsurare să aproximeze bine geometria internă a spaţiului ca obiect fizic din zona respectivă.

2. tehnica de măsurare să nu fie afectată semnificativ de materia din spaţiul în care are loc mişcarea corpului de măsurat, a etalonului pentru măsurare (în cazul măsurării prin contact direct) sau a undei utilizate (în cazul măsurării de la distanţă)

Măsurarea de aproape şi cea de la distanţă cu unde care se propagă prin corpuri materiale (sonore, de exemplu) nu sunt afectate semnificativ de mişcarea prin spaţiu, deoarece numărul de puncte spaţiale intersectat în timp este relativ mic. Dar în cazul utilizării fotonilor, ca tip particular de obiecte fizice, pentru măsurarea lungimilor obiectelor în viteză interacţia cu spaţiul este mult mai puternică. Contracţia observată a obiectelor în acest din urmă caz este reală, în sensul că are la bază o constrângere reală a vitezei de deplasare în hiperspaţiu (după cum s-a evidenţiat mai sus în legătură cu semnificaţia vitezei). Contradicţia logică dintre faptul că lungimea nu se modifică sesizabil printr-un anumit tip de măsurare şi faptul că lungimea se modifică prin alt fel de măsurare este depăşită prin inteligibilizarea ambelor fenomene prin intermediul modelului schiţat cu privire la interpretarea materiei şi spaţiului în sens comun (în esenţă, o interpretare geometrică a materiei).

În concluzie, sugerez că deşi contracţia lungimilor este reală în sensul menţionat, ea nu dezintegrează corpul material, conform implicaţiilor dovezii lui Bell, deoarece corpul material ar avea doar o structură afină, nu şi una metrică.

Mulţumiri: Domnului Valentin Cioveie pentru numeroase observaţii constructive pe care le-a făcut unor forme preliminare ale acestui eseu, în încercarea parţial reuşită de a mă convinge că nu se poate argumenta chiar orice.

([1]) Un material extrem de rigid.

(2) Aş vrea să observ acum că dacă în loc de bară considerăm un electron ar rezulta că şi în cazul lui are loc o pulverizare, în măsura în care îl concepem ca particulă rigidă. Cum, din câte ştiu, au avut loc accelerări de electroni către viteze foarte mari şi nu a fost observată pulverizarea, rezultă fie că dovada lui Bell nu este validă, fie că electronul nu poate fi conceput ca o particulă rigidă. Pentru a putea duce acest eseu mai departe şi având în vedere şi dualitatea undă-corpuscul la nivelul particulelor elementare, să considerăm că absenţa pulverizării electronului nu este datorată invalidităţii dovezii lui Bell (şi să nici nu ne mai complicăm cu problema funcţiei de undă a corpurilor macroscopice, pe care dacă le-am interpreta cuantic s-ar putea să avem probleme cu aplicarea teoriei relativităţii la ele). De asemenea, nu vreau să resping dovada lui Bell apelând la observaţia că nu pare să aibă loc o pulverizare a corpurilor, care ar cam trebui să aibă loc în condiţiile în care este uşor de conceput că un corp terestru, de exemplu, are o viteză relativă foarte mare în raport cu o galaxie care se îndepărtează de noi cu o viteză cosmică (rămâne de verificat prin calcul). Din contră, accept, for the sake of discussion, că are loc o pulverizare a tuturor corpurilor.

(3)  Sklar, L., Space, time and space time, University of California Press, 1977.

(4) Idem, p. 48.

(5) Idem, p. 50.

(6) Aceasta nu trebuie confundată cu posibilitatea de a fi coordonatizat, care e o trăsătură intrinsecă a DM.

(7) Ceva de genul felului cum forţa gravitaţională este redusă la structura spaţiului în teoria generală a relativităţii.

(8) Deşi Boltzman spune că „eleganţa este o problemă care trebuie lăsată în seama croitorilor şi cizmarilor”.

(9) Principiul lui Mach ar fi acesta: „Conceptele şi afirmaţiile care nu sunt empiric verificabile nu îşi au locul într-o teorie fizică”.

(10) Din punct de vedere newtonian, explozia iniţială s-ar produce dintr-un punct material localizat într-un spaţiu deja existent. Din perspectivă relativistă, toate obiectele materiale fiind concentrate într-un punct material, spaţiul în care s-ar produce explozia ar fi şi el concentrat într-un punct, nematerial. Ne-am putea întreba atunci dacă mai are sens afirmaţia că explozia se produce într-un spaţiu. Ar părea mai degrabă că spaţiul explodează odată cu materia. Dar dacă această expandare este comună spaţiului şi materiei, de ce am mai face o distincţie de gen între ele, de ce am mai accepta presupoziţia distincţiei dintre spaţiu şi materie? Ar fi mai simplu să considerăm spaţiul şi materia ca specii ale aceluiaşi gen, şi aceasta este principala idee din acest eseu.

(11) Consecinţele fataliste ale acestui model pot fi depăşite prin recunoaşterea faptului că modelul însuşi este un construct uman.

(12) Aceasta s-ar putea ilustra printr-o diagramă de tip Minkowsky astfel: obiectul spaţiu este reprezentat de axa x la momentul t, iar pe ea avem un punct A, care este suprapus cu un punct al axei x. La un moment ulterior, dacă punctul A s-a mişcat, atunci el se va afla în altă poziţie, să zicem B, pe axa x translatată la momentul ulterior. În perioada de timp scursă, punctul A s-a intersectat cu toate punctele spaţiale de la A la B.

(13) Obiectul în mişcare este cel la nivelul căruia se manifestă efecte de tip inerţial, se simt efectele unei acceleraţii; ca exemplu pentru aceasta se pot da efectele resimţite în propriul corp datorită elasticităţii diferenţiate a organelor interne.